杨辉三角的规律公式杨辉三角，又称贾宪三角，是中国古代数学家杨辉小编认为‘详解九章算法’里面记载的一种数表。它不仅具有几何审美，更蕴含着丰富的数学规律。通过研究杨辉三角，我们可以发现其每一行的数字都遵循一定的组合规律，这些规律可以用公式来表达。
一、杨辉三角的基本结构
杨辉三角一个由数字组成的三角形，每行的数字个数等于该行的序号。例如：
– 第1行：1
– 第2行：1 1
– 第3行：1 2 1
– 第4行：1 3 3 1
– 第5行：1 4 6 4 1
– 第6行：1 5 10 10 5 1
可以看出，每一行的两端都是1，中间的数字是上一行相邻两个数字之和。
二、杨辉三角的规律拓展资料
| 规律名称 | 说明 |
| 对称性 | 每一行的数字关于中间对称。如第5行：1 4 6 4 1 |
| 边角为1 | 每一行的第一个和最终一个数字都是1 |
| 递推关系 | 每个数字等于它上方两个数字之和。例如：第5行的6 = 3 + 3 |
| 组合数表示 | 杨辉三角中的每个数字对应组合数C(n, k)，其中n为行号（从0开始），k为位置（从0开始）。如第5行第2个数是C(4,1)=4 |
| 二项式展开系数 | 杨辉三角的每一行对应多项式展开的系数，如(a + b)^4 的展开式为 a? + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b? |
三、杨辉三角的公式表达
1. 组合数公式
杨辉三角中第 $ n $ 行第 $ k $ 个数（从0开始计）为组合数：
$$
C(n, k) = \fracn!}k!(n-k)!}
$$
2. 递推公式
若用 $ T(n, k) $ 表示第 $ n $ 行第 $ k $ 个数，则有：
$$
T(n, k) = T(n-1, k-1) + T(n-1, k)
$$
其中边界条件为 $ T(n, 0) = T(n, n) = 1 $
3. 二项式定理
杨辉三角与二项式展开密切相关，即：
$$
(a + b)^n = \sum_k=0}^n} C(n, k) a^n-k} b^k
$$
四、表格展示杨辉三角前六行
| 行号 | 数字序列 |
| 1 | 1 |
| 2 | 1 1 |
| 3 | 1 2 1 |
| 4 | 1 3 3 1 |
| 5 | 1 4 6 4 1 |
| 6 | 1 5 10 10 5 1 |
五、拓展资料
杨辉三角不仅是数学史上的重要成果，更是组合数学和代数运算的重要工具。通过对它的研究，我们能够更深入地领会组合数、二项式展开以及递推关系等数学概念。其规律清晰、结构对称，是数学之美与实用性的完美结合。
